Selesaikan 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Satu-satunya pasangan itu ialah penyelesaian sistem.

$$a=-3 b=1$$

Tulis semula 3x^{2}-2x-1 sebagai \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Faktorkan 3x dalam 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -2 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Tambahkan 4 pada 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±4}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±4}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 4 daripada 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Bahagikan -\frac{2}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada \frac{1}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$