Selesaikan 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0.333333333+1.105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.105541597i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -2 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Tambahkan 4 pada -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Bahagikan 2+2i\sqrt{11} dengan 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{11} daripada 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Bahagikan 2-2i\sqrt{11} dengan 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Menolak 4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Bahagikan -\frac{2}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Tambahkan -\frac{4}{3} pada \frac{1}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$