Selesaikan 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-3 b=4$$

Tulis semula 3x^{2}+x-4 sebagai \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 1 dengan b dan -4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1 pada 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±7}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±7}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Menolak -4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Tolak -4 daripada 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Bahagikan \frac{1}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada \frac{1}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$