Selesaikan 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-11. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -33.

$$-1,33 -3,11$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 8.

$$a=-3 b=11$$

Tulis semula 3x^{2}+8x-11 sebagai \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 11 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 8 dengan b dan -11 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Tambahkan 64 pada 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±14}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -8 pada 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±14}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 14 daripada -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-22}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Menolak -11 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Tolak -11 daripada 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Bahagikan \frac{8}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{4}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{4}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Tambahkan \frac{11}{3} pada \frac{16}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$