Selesaikan 3x^2+4x-7=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -21.

$$-1,21 -3,7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 4.

$$a=-3 b=7$$

Tulis semula 3x^{2}+4x-7 sebagai \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 4 dengan b dan -7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Tambahkan 16 pada 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±10}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±10}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 10 daripada -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Menolak -7 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Tolak -7 daripada 0.

$$3x^{2}+4x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Bahagikan \frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$