Selesaikan 3x^2+4x+10=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 10 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{26}i}{3}\approx -0.666666667+1.699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i-2}{3}\approx -0.666666667-1.699673171i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+4x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 4 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\times 10}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-120}}{2\times 3}$$

Tambahkan 16 pada -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -104.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{26}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{26}i}{6}$$

Bahagikan -4+2i\sqrt{26} dengan 6.

$$x=\frac{-2+\sqrt{26}i}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{26}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{26} daripada -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i-4}{6}$$

Bahagikan -4-2i\sqrt{26} dengan 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i-2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i-2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+4x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+4x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Bahagikan \frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{9}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{26}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i-2}{3}$$