Selesaikan 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 2 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Tambahkan 4 pada -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -2 pada 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Bahagikan -2+2i\sqrt{2} dengan 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{2} daripada -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Bahagikan -2-2i\sqrt{2} dengan 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan \frac{2}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{1}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Tolak \frac{1}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$