Selesaikan 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-35. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 16.

$$a=-5 b=21$$

Tulis semula 3x^{2}+16x-35 sebagai \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-5=0 dan x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 16 dengan b dan -35 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Tambahkan 256 pada 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-16±26}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -16 pada 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-16±26}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 26 daripada -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Bahagikan -42 dengan 6.

$$x=-7$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Tambahkan 35 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Menolak -35 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Tolak -35 daripada 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Bahagikan \frac{16}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{8}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{8}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{8}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Tambahkan \frac{35}{3} pada \frac{64}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$