Selesaikan 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$3x+9-6y=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-6y=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 12 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$-2x-2y=12$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-6y=-9$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6y-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 6y-9.

$$x=2y-3$$

Gantikan 2y-3 dengan x dalam persamaan lain, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Darabkan -2 kali 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Tambahkan -4y pada -2y.

$$-6y+6=12$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=2y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=-2-3$$

Tambahkan -3 pada -2.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$3x+9-6y=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-6y=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 12 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$-2x-2y=12$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$3x+9-6y=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-6y=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 12 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$-2x-2y=12$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Untuk menjadikan 3x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Permudahkan.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Tolak -6x-6y=36 daripada -6x+12y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y+6y=18-36$$

Tambahkan 12y pada 6y.

$$18y=18-36$$

Tambahkan 18 pada -36.

$$18y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -2x-2y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Darabkan -2 kali -1.

$$-2x+2=12$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-1$$