Selesaikan 3x+10y=102,3x+7y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 7 y = 84$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=14$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+10y=102$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-10y+102$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Gantikan -\frac{10y}{3}+34 dengan x dalam persamaan lain, 3x+7y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+7y=84$$

Darabkan 3 kali -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+7y=84$$

Tambahkan -10y pada 7y.

$$-3y+102=84$$

Tolak 102 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-\frac{10}{3}y+34. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{10}{3}\times 6+34$$

Darabkan -\frac{10}{3} kali 6.

$$x=-20+34$$

Tambahkan 34 pada -20.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-10\times 3}&-\frac{10}{3\times 7-10\times 3}\\-\frac{3}{3\times 7-10\times 3}&\frac{3}{3\times 7-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&\frac{10}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\times 102+\frac{10}{9}\times 84\\\frac{1}{3}\times 102-\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=14,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Tolak 3x+7y=84 daripada 3x+10y=102 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+10y-7y=102-84$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-7y=102-84$$

Tambahkan 10y pada -7y.

$$3y=102-84$$

Tambahkan 102 pada -84.

$$3y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 3x+7y=84. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+7\times 6=84$$

Darabkan 7 kali 6.

$$3x+42=84$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=6$$