Selesaikan 3v^2+5v-8=0

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

Selesaikan untuk v

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$v=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3v^{2}+av+bv-8. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-3 b=8$$

Tulis semula 3v^{2}+5v-8 sebagai \left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right).

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

Faktorkan 3v dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim v-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan v-1=0 dan 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 5 dengan b dan -8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 5.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

Tambahkan 25 pada 96.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan v=\frac{-5±11}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 11.

$$v=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$v=1$$

Sekarang selesaikan persamaan v=\frac{-5±11}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada -5.

$$v=-\frac{16}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-16}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$v=-\frac{8}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Menolak -8 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

Tolak -8 daripada 0.

$$3v^{2}+5v=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

Bahagikan \frac{5}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada \frac{25}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

Faktor v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Permudahkan.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

Tolak \frac{5}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$