Selesaikan 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Faktor

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 3t^{2}+at+bt-32. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 20.

$$a=-4 b=24$$

Tulis semula 3t^{2}+20t-32 sebagai \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Faktorkan t dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3t-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 20.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Tambahkan 400 pada 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{-20±28}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -20 pada 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{-20±28}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 28 daripada -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Bahagikan -48 dengan 6.

$$t=-8$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{4}{3} dengan x_{1} dan -8 dengan x_{2}.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Tolak \frac{4}{3} daripada t dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 3 dalam 3 dan 3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Nilaikan

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$