Selesaikan 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Selesaikan untuk r

$$r=3$$

$$r=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tambahkan 45 pada kedua-dua belah.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai r^{2}+ar+br+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -8.

$$a=-5 b=-3$$

Tulis semula r^{2}-8r+15 sebagai \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Faktorkan r dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim r-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan r-5=0 dan r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Tambahkan 45 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Menolak -45 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Tolak -45 daripada 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -24 dengan b dan 45 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Tambahkan 576 pada -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -24 ialah 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{24±6}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 24 pada 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Bahagikan 30 dengan 6.

$$r=5$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{24±6}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 6 daripada 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Bahagikan 18 dengan 6.

$$r=3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$r=5 r=3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Bahagikan -24 dengan 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Bahagikan -45 dengan 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Bahagikan -8 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -4. Kemudian tambahkan kuasa dua -4 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Kuasa dua -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Tambahkan -15 pada 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Faktor r^{2}-8r+16. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Permudahkan.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$r=5 r=3$$