Selesaikan 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Selesaikan untuk q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3q^{2}+aq+bq+16. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -19.

$$a=-16 b=-3$$

Tulis semula 3q^{2}-19q+16 sebagai \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Faktorkan q dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3q-16 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3q-16=0 dan q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -19 dengan b dan 16 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Tambahkan 361 pada -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -19 ialah 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan q=\frac{19±13}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 19 pada 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{32}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan q=\frac{19±13}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$q=1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Menolak 16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Bahagikan -\frac{19}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{19}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{19}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{19}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Tambahkan -\frac{16}{3} pada \frac{361}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Permudahkan.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Tambahkan \frac{19}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$