Selesaikan 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Selesaikan untuk p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3p^{2}+ap+bp+5. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -8.

$$a=-5 b=-3$$

Tulis semula 3p^{2}-8p+5 sebagai \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Faktorkan p dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3p-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3p-5=0 dan p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -8 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Tambahkan 64 pada -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -8 ialah 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{8±2}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 8 pada 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{8±2}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 2 daripada 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$p=1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Bahagikan -\frac{8}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{4}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{4}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Tambahkan -\frac{5}{3} pada \frac{16}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Permudahkan.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$