Selesaikan 3n^2-n-420

$$3 n ^ { 2 } - n - 420$$

Faktor

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 3n^{2}+an+bn-420. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=3\left(-420\right)=-1260$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-36 b=35$$

Tulis semula 3n^{2}-n-420 sebagai \left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right).

$$\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right)$$

Faktorkan 3n dalam kumpulan pertama dan 35 dalam kumpulan kedua.

$$3n\left(n-12\right)+35\left(n-12\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-12 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-n-420=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -420.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5040}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1 pada 5040.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5041}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 5041.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±71}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$n=\frac{1±71}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$n=\frac{1±71}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{1±71}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 71.

$$n=\frac{72}{6}$$

Bahagikan 72 dengan 6.

$$n=12$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{1±71}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 71 daripada 1.

$$n=-\frac{70}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-70}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n=-\frac{35}{3}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan 12 dengan x_{1} dan -\frac{35}{3} dengan x_{2}.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n-\left(-\frac{35}{3}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n+\frac{35}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{35}{3} pada n dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\times \frac{3n+35}{3}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 3 dalam 3 dan 3.

$$3n^{2}-n-420=\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Nilaikan

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$