Selesaikan 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Selesaikan untuk n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3n^{2}+an+bn-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -4.

$$a=-9 b=5$$

Tulis semula 3n^{2}-4n-15 sebagai \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Faktorkan 3n dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-3=0 dan 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -4 dengan b dan -15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Tambahkan 16 pada 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{4±14}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Bahagikan 18 dengan 6.

$$n=3$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{4±14}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 14 daripada 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Menolak -15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Tolak -15 daripada 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Bahagikan 15 dengan 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Bahagikan -\frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Tambahkan 5 pada \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$