Selesaikan 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Selesaikan untuk n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Tolak 5 daripada -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 47 dengan b dan -237 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Tambahkan 2209 pada 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -47 pada \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{5053} daripada -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Tambahkan 232 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Menolak -232 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Tolak -232 daripada 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Bahagikan 237 dengan 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Bahagikan \frac{47}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{47}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{47}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{47}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Tambahkan 79 pada \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Faktor n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Permudahkan.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Tolak \frac{47}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$