Selesaikan 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Selesaikan untuk n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 1141 daripada kedua-dua belah.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Tolak 1141 daripada 1 untuk mendapatkan -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai n^{2}+an+bn-380. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-19 b=20$$

Tulis semula n^{2}+n-380 sebagai \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan 20 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-19 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-19=0 dan n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Tolak 1141 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Menolak 1141 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Tolak 1141 daripada 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 3 dengan b dan -1140 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Tambahkan 9 pada 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-3±117}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Bahagikan 114 dengan 6.

$$n=19$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-3±117}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 117 daripada -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Bahagikan -120 dengan 6.

$$n=-20$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=19 n=-20$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Tolak 1 daripada 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Bahagikan 3 dengan 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Bahagikan 1140 dengan 3.

$$n^{2}+n=380$$

Bahagikan 1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 380 pada \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktor n^{2}+n+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Permudahkan.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n=19 n=-20$$