Selesaikan 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Selesaikan untuk n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3n^{2}+an+bn-8. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-2 b=12$$

Tulis semula 3n^{2}+10n-8 sebagai \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3n-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3n-2=0 dan n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3n^{2}+10n=8$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Menolak 8 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 10 dengan b dan -8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Tambahkan 100 pada 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-10±14}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-10±14}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 14 daripada -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Bahagikan -24 dengan 6.

$$n=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Bahagikan \frac{10}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada \frac{25}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Permudahkan.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Tolak \frac{5}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$