Selesaikan 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Selesaikan untuk z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai z^{2}+az+bz+2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Satu-satunya pasangan itu ialah penyelesaian sistem.

$$a=1 b=2$$

Tulis semula z^{2}+3z+2 sebagai \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Faktorkan z dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim z+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan z+1=0 dan z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 9 dengan b dan 6 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Tambahkan 81 pada -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-9±3}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -9 pada 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Bahagikan -6 dengan 6.

$$z=-1$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-9±3}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 3 daripada -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Bahagikan -12 dengan 6.

$$z=-2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=-1 z=-2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Menolak 6 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Bahagikan 9 dengan 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Bahagikan -6 dengan 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Bahagikan 3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Tambahkan -2 pada \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Permudahkan.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z=-1 z=-2$$