Selesaikan 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Faktor

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Langkah Penyelesaian

Untuk memfaktorkan ungkapan, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -40 dan q membahagikan pekali pelopor 3. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-2$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 dengan x+2 untuk mendapatkan 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Untuk memfaktorkan hasil, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -20 dan q membahagikan pekali pelopor 3. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=\frac{5}{3}$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 dengan 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 untuk mendapatkan x^{2}+4. Untuk memfaktorkan hasil, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+4=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 0 untuk b dan 4 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polinomial x^{2}+4 tidak difaktorkan kerana ia tidak mempunyai sebarang punca rasional.

$$x^{2}+4$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan dengan menggunakan punca diperolehi.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$