Selesaikan 3x^2-x-234=0

$$3 { x }^{ 2 } -x-234=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{26}{3} = -8\frac{2}{3} \approx -8.666666667$$

$$x=9$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-234. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=3\left(-234\right)=-702$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -702.

$$1,-702 2,-351 3,-234 6,-117 9,-78 13,-54 18,-39 26,-27$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-702=-701 2-351=-349 3-234=-231 6-117=-111 9-78=-69 13-54=-41 18-39=-21 26-27=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-27 b=26$$

Tulis semula 3x^{2}-x-234 sebagai \left(3x^{2}-27x\right)+\left(26x-234\right).

$$\left(3x^{2}-27x\right)+\left(26x-234\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 26 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-9\right)+26\left(x-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-9\right)\left(3x+26\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-9=0 dan 3x+26=0.

$$x=9 x=-\frac{26}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-x-234=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -1 dengan b dan -234 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-234\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-234\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -234.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+2808}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1 pada 2808.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2809}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 2809.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±53}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±53}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{1±53}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±53}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 53.

$$x=\frac{54}{6}$$

Bahagikan 54 dengan 6.

$$x=9$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±53}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 53 daripada 1.

$$x=-\frac{52}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-52}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{26}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=9 x=-\frac{26}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-x-234=0$$

Tambahkan 234 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-x-234-\left(-234\right)=-\left(-234\right)$$

Menolak -234 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-x=-\left(-234\right)$$

Tolak -234 daripada 0.

$$3x^{2}-x=234$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{234}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{234}{3}$$

Bahagikan 234 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=78$$

Bahagikan -\frac{1}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=78+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=78+\frac{1}{36}$$

Tambahkan 78 pada \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2809}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2809}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{53}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{53}{6}$$

Tambahkan \frac{1}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9 x=-\frac{26}{3}$$