Selesaikan 3x^2-7x-6=0

$$3 { x }^{ 2 } -7x-6=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-6. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=3\left(-6\right)=-18$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-9 b=2$$

Tulis semula 3x^{2}-7x-6 sebagai \left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan 3x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -7 dengan b dan -6 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 3}$$

Tambahkan 49 pada 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{7±11}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±11}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 11.

$$x=\frac{18}{6}$$

Bahagikan 18 dengan 6.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±11}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 7.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Menolak -6 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-7x=-\left(-6\right)$$

Tolak -6 daripada 0.

$$3x^{2}-7x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{6}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{6}{3}$$

Bahagikan 6 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=2$$

Bahagikan -\frac{7}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Tambahkan 2 pada \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Tambahkan \frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$