Selesaikan 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-372. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-36 b=31$$

Tulis semula 3x^{2}-5x-372 sebagai \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 31 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-12 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-12=0 dan 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -5 dengan b dan -372 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Tambahkan 25 pada 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±67}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Bahagikan 72 dengan 6.

$$x=12$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±67}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 67 daripada 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-62}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Tambahkan 372 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Menolak -372 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Tolak -372 daripada 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Bahagikan 372 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Bahagikan -\frac{5}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Tambahkan 124 pada \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Tambahkan \frac{5}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$