Selesaikan 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0.833333333+3.157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0.833333333-3.157882554i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

Tolak 10 daripada 42.

$$3x^{2}-5x+32=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -5 dengan b dan 32 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

Tambahkan 25 pada -384.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -359.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada i\sqrt{359}.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{359} daripada 5.

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

Menolak 42 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-5x=10-42$$

Tolak 42 daripada 10.

$$3x^{2}-5x=-32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Bahagikan -\frac{5}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Tambahkan -\frac{32}{3} pada \frac{25}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

Tambahkan \frac{5}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$