Selesaikan 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -4 dengan b dan -9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Tambahkan 16 pada 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Bahagikan 4+2\sqrt{31} dengan 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{31} daripada 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Bahagikan 4-2\sqrt{31} dengan 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Menolak -9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Tolak -9 daripada 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Bahagikan 9 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Bahagikan -\frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Tambahkan 3 pada \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$