Selesaikan 3x^2-49x-1700

$$3 { x }^{ 2 } -49x-1700$$

Faktor

$$\left(3x-100\right)\left(x+17\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-1700. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-49 ab=3\left(-1700\right)=-5100$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -5100.

$$1,-5100 2,-2550 3,-1700 4,-1275 5,-1020 6,-850 10,-510 12,-425 15,-340 17,-300 20,-255 25,-204 30,-170 34,-150 50,-102 51,-100 60,-85 68,-75$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-5100=-5099 2-2550=-2548 3-1700=-1697 4-1275=-1271 5-1020=-1015 6-850=-844 10-510=-500 12-425=-413 15-340=-325 17-300=-283 20-255=-235 25-204=-179 30-170=-140 34-150=-116 50-102=-52 51-100=-49 60-85=-25 68-75=-7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -49.

$$a=-100 b=51$$

Tulis semula 3x^{2}-49x-1700 sebagai \left(3x^{2}-100x\right)+\left(51x-1700\right).

$$\left(3x^{2}-100x\right)+\left(51x-1700\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 17 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(3x-100\right)+17\left(3x-100\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-100 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-100\right)\left(x+17\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-49x-1700=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-49\right)±\sqrt{\left(-49\right)^{2}-4\times 3\left(-1700\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -49.

$$x=\frac{-\left(-49\right)±\sqrt{2401-4\times 3\left(-1700\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-49\right)±\sqrt{2401-12\left(-1700\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -1700.

$$x=\frac{-\left(-49\right)±\sqrt{2401+20400}}{2\times 3}$$

Tambahkan 2401 pada 20400.

$$x=\frac{-\left(-49\right)±\sqrt{22801}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 22801.

$$x=\frac{-\left(-49\right)±151}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -49 ialah 49.

$$x=\frac{49±151}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{49±151}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{49±151}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 49 pada 151.

$$x=\frac{200}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{200}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{49±151}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 151 daripada 49.

$$x=-\frac{102}{6}$$

Bahagikan -102 dengan 6.

$$x=-17$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{100}{3} dengan x_{1} dan -17 dengan x_{2}.

$$3x^{2}-49x-1700=3\left(x-\frac{100}{3}\right)\left(x-\left(-17\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$3x^{2}-49x-1700=3\left(x-\frac{100}{3}\right)\left(x+17\right)$$

Tolak \frac{100}{3} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$3x^{2}-49x-1700=3\times \frac{3x-100}{3}\left(x+17\right)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 3 dalam 3 dan 3.

$$3x^{2}-49x-1700=\left(3x-100\right)\left(x+17\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-100\right)\left(x+17\right)$$