Selesaikan 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-60. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -31.

$$a=-36 b=5$$

Tulis semula 3x^{2}-31x-60 sebagai \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-12 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-12=0 dan 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -31 dengan b dan -60 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Tambahkan 961 pada 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -31 ialah 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{31±41}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 31 pada 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Bahagikan 72 dengan 6.

$$x=12$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{31±41}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 41 daripada 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Menolak -60 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Tolak -60 daripada 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Bahagikan 60 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Bahagikan -\frac{31}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{31}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{31}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{31}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Tambahkan 20 pada \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Tambahkan \frac{31}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$