Selesaikan 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 5 dengan b dan 9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Tambahkan 25 pada -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{83} daripada -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Menolak 9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Bahagikan -9 dengan 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Bahagikan \frac{5}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Tambahkan -3 pada \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Tolak \frac{5}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$