Selesaikan 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx+10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 17.

$$a=2 b=15$$

Tulis semula 3x^{2}+17x+10 sebagai \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x+2=0 dan x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 17 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Tambahkan 289 pada -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-17±13}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -17 pada 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-17±13}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Bahagikan -30 dengan 6.

$$x=-5$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Bahagikan \frac{17}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{17}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{17}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{17}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{289}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Tolak \frac{17}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$