Selesaikan 3x^2+14x-69

$$3 { x }^{ 2 } +14x-69$$

Faktor

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx-69. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=14 ab=3\left(-69\right)=-207$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -207.

$$-1,207 -3,69 -9,23$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+207=206 -3+69=66 -9+23=14$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 14.

$$a=-9 b=23$$

Tulis semula 3x^{2}+14x-69 sebagai \left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 23 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-69=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -69.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+828}}{2\times 3}$$

Tambahkan 196 pada 828.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 1024.

$$x=\frac{-14±32}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-14±32}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±32}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -14 pada 32.

$$x=\frac{18}{6}$$

Bahagikan 18 dengan 6.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±32}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 32 daripada -14.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-46}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan 3 dengan x_{1} dan -\frac{23}{3} dengan x_{2}.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{3}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{23}{3} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\times \frac{3x+23}{3}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 3 dalam 3 dan 3.

$$3x^{2}+14x-69=\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Nilaikan

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$