Selesaikan 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1.833333333+2.153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1.833333333-2.153807997i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Menolak -24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Tolak -24 daripada 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 11 dengan b dan 24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Tambahkan 121 pada -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -11 pada i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{167} daripada -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Bahagikan -24 dengan 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Bahagikan \frac{11}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{11}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{11}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{11}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Tambahkan -8 pada \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Tolak \frac{11}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$