Selesaikan 3^14x+2y=6,3x+6y=18

$$3 ^ { 14 } x + 2 y = 6,3 x + 6 y = 18$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4782969x+2y=6$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4782969x=-2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4782969.

$$x=\frac{1}{4782969}\left(-2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{4782969} kali -2y+6.

$$x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}$$

Gantikan -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323} dengan x dalam persamaan lain, 3x+6y=18.

$$3\left(-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}\right)+6y=18$$

Darabkan 3 kali -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}.

$$-\frac{2}{1594323}y+\frac{2}{531441}+6y=18$$

Tambahkan -\frac{2y}{1594323} pada 6y.

$$\frac{9565936}{1594323}y+\frac{2}{531441}=18$$

Tolak \frac{2}{531441} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9565936}{1594323}y=\frac{9565936}{531441}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9565936}{1594323} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{4782969}\times 3+\frac{2}{1594323}$$

Darabkan -\frac{2}{4782969} kali 3.

$$x=\frac{-2+2}{1594323}$$

Tambahkan \frac{2}{1594323} pada -\frac{2}{1594323} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4782969\times 6-2\times 3}&-\frac{2}{4782969\times 6-2\times 3}\\-\frac{3}{4782969\times 6-2\times 3}&\frac{4782969}{4782969\times 6-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}&-\frac{1}{14348904}\\-\frac{1}{9565936}&\frac{1594323}{9565936}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}\times 6-\frac{1}{14348904}\times 18\\-\frac{1}{9565936}\times 6+\frac{1594323}{9565936}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Untuk menjadikan 4782969x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4782969.

$$3\times 4782969x+3\times 2y=3\times 6,4782969\times 3x+4782969\times 6y=4782969\times 18$$

Permudahkan.

$$14348907x+6y=18,14348907x+28697814y=86093442$$

Tolak 14348907x+28697814y=86093442 daripada 14348907x+6y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14348907x-14348907x+6y-28697814y=18-86093442$$

Tambahkan 14348907x pada -14348907x. Seubtan 14348907x dan -14348907x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-28697814y=18-86093442$$

Tambahkan 6y pada -28697814y.

$$-28697808y=18-86093442$$

Tambahkan 18 pada -86093442.

$$-28697808y=-86093424$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -28697808.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 3x+6y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+6\times 3=18$$

Darabkan 6 kali 3.

$$3x+18=18$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=3$$