Selesaikan 2x-3=x^2+3x+5

$$2x-3 = { x }^{ 2 } +3x+5$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}\approx -0.5-2.783882181i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}\approx -0.5+2.783882181i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

Gabungkan 2x dan -3x untuk mendapatkan -x.

$$-x-3-x^{2}=5$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$-x-3-x^{2}-5=0$$

Tolak 5 daripada -3 untuk mendapatkan -8.

$$-x-8-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}-x-8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, -1 dengan b dan -8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 1 pada -32.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-31}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua -31.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada i\sqrt{31}.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{-2}$$

Bahagikan 1+i\sqrt{31} dengan -2.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{31} daripada 1.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{-2}$$

Bahagikan 1-i\sqrt{31} dengan -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

Gabungkan 2x dan -3x untuk mendapatkan -x.

$$-x-3-x^{2}=5$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$-x-x^{2}=5+3$$

Tambahkan 5 dan 3 untuk dapatkan 8.

$$-x-x^{2}=8$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{8}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{8}{-1}$$

Bahagikan -1 dengan -1.

$$x^{2}+x=\frac{8}{-1}$$

Bahagikan 8 dengan -1.

$$x^{2}+x=-8$$

Bahagikan 1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-8+\frac{1}{4}$$

Tambahkan -8 pada \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$