Selesaikan 281x^2+512x-2448=0

$$281 x ^ { 2 } + 512 x - 2448 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x = \frac{612}{281} = 2\frac{50}{281} \approx 2.177935943$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 281x^{2}+ax+bx-2448. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=512 ab=281\left(-2448\right)=-687888$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -687888.

$$-1,687888 -2,343944 -3,229296 -4,171972 -6,114648 -8,85986 -9,76432 -12,57324 -16,42993 -17,40464 -18,38216 -24,28662 -34,20232 -36,19108 -48,14331 -51,13488 -68,10116 -72,9554 -102,6744 -136,5058 -144,4777 -153,4496 -204,3372 -272,2529 -281,2448 -306,2248 -408,1686 -562,1224 -612,1124 -816,843$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+687888=687887 -2+343944=343942 -3+229296=229293 -4+171972=171968 -6+114648=114642 -8+85986=85978 -9+76432=76423 -12+57324=57312 -16+42993=42977 -17+40464=40447 -18+38216=38198 -24+28662=28638 -34+20232=20198 -36+19108=19072 -48+14331=14283 -51+13488=13437 -68+10116=10048 -72+9554=9482 -102+6744=6642 -136+5058=4922 -144+4777=4633 -153+4496=4343 -204+3372=3168 -272+2529=2257 -281+2448=2167 -306+2248=1942 -408+1686=1278 -562+1224=662 -612+1124=512 -816+843=27$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 512.

$$a=-612 b=1124$$

Tulis semula 281x^{2}+512x-2448 sebagai \left(281x^{2}-612x\right)+\left(1124x-2448\right).

$$\left(281x^{2}-612x\right)+\left(1124x-2448\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(281x-612\right)+4\left(281x-612\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 281x-612 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(281x-612\right)\left(x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 281x-612=0 dan x+4=0.

$$x=\frac{612}{281} x=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$281x^{2}+512x-2448=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 281 dengan a, 512 dengan b dan -2448 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 281\left(-2448\right)}}{2\times 281}$$

Kuasa dua 512.

$$x=\frac{-512±\sqrt{262144-4\times 281\left(-2448\right)}}{2\times 281}$$

Darabkan -4 kali 281.

$$x=\frac{-512±\sqrt{262144-1124\left(-2448\right)}}{2\times 281}$$

Darabkan -1124 kali -2448.

$$x=\frac{-512±\sqrt{262144+2751552}}{2\times 281}$$

Tambahkan 262144 pada 2751552.

$$x=\frac{-512±\sqrt{3013696}}{2\times 281}$$

Ambil punca kuasa dua 3013696.

$$x=\frac{-512±1736}{2\times 281}$$

Darabkan 2 kali 281.

$$x=\frac{-512±1736}{562}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-512±1736}{562} apabila ± ialah plus. Tambahkan -512 pada 1736.

$$x=\frac{1224}{562}$$

Kurangkan pecahan \frac{1224}{562} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{612}{281}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-512±1736}{562} apabila ± ialah minus. Tolak 1736 daripada -512.

$$x=-\frac{2248}{562}$$

Bahagikan -2248 dengan 562.

$$x=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{612}{281} x=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$281x^{2}+512x-2448=0$$

Tambahkan 2448 pada kedua-dua belah persamaan.

$$281x^{2}+512x-2448-\left(-2448\right)=-\left(-2448\right)$$

Menolak -2448 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$281x^{2}+512x=-\left(-2448\right)$$

Tolak -2448 daripada 0.

$$281x^{2}+512x=2448$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 281.

$$\frac{281x^{2}+512x}{281}=\frac{2448}{281}$$

Membahagi dengan 281 membuat asal pendaraban dengan 281.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x=\frac{2448}{281}$$

Bahagikan \frac{512}{281} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{256}{281}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{256}{281} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x+\left(\frac{256}{281}\right)^{2}=\frac{2448}{281}+\left(\frac{256}{281}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{256}{281} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x+\frac{65536}{78961}=\frac{2448}{281}+\frac{65536}{78961}$$

Tambahkan \frac{2448}{281} pada \frac{65536}{78961} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x+\frac{65536}{78961}=\frac{753424}{78961}$$

Faktor x^{2}+\frac{512}{281}x+\frac{65536}{78961}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{256}{281}\right)^{2}=\frac{753424}{78961}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{256}{281}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{753424}{78961}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{256}{281}=\frac{868}{281} x+\frac{256}{281}=-\frac{868}{281}$$

Tolak \frac{256}{281} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{612}{281} x=-4$$