Selesaikan 27x^3+1=0

$$27 x ^ { 3 } + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{6}\approx 0.166666667-0.288675135i$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}\approx 0.166666667+0.288675135i$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 1 dan q membahagikan pekali pelopor 27. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{27},±\frac{1}{9},±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 27x^{3}+1 dengan 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1 untuk mendapatkan 9x^{2}-3x+1. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$9x^{2}-3x+1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 9 untuk a, -3 untuk b dan 1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\times 1}}{2\times 9}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{3±\sqrt{-27}}{18}$$

Selesaikan persamaan 9x^{2}-3x+1=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{6} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=-\frac{1}{3} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{6} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 1 dan q membahagikan pekali pelopor 27. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{27},±\frac{1}{9},±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 27x^{3}+1 dengan 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1 untuk mendapatkan 9x^{2}-3x+1. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$9x^{2}-3x+1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 9 untuk a, -3 untuk b dan 1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\times 1}}{2\times 9}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{3±\sqrt{-27}}{18}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=-\frac{1}{3}$$