Selesaikan 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

Faktor

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 27x^{2}+ax+bx-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -12.

$$a=-18 b=6$$

Tulis semula 27x^{2}-12x-4 sebagai \left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

Faktorkan 9x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Darabkan -4 kali 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Darabkan -108 kali -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

Tambahkan 144 pada 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

Ambil punca kuasa dua 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

Darabkan 2 kali 27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±24}{54} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 24.

$$x=\frac{36}{54}$$

Kurangkan pecahan \frac{36}{54} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 18.

$$x=\frac{2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±24}{54} apabila ± ialah minus. Tolak 24 daripada 12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{54} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{2}{3} dengan x_{1} dan -\frac{2}{9} dengan x_{2}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Tolak \frac{2}{3} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Tambahkan \frac{2}{9} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

Darabkan \frac{3x-2}{3} dengan \frac{9x+2}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

Darabkan 3 kali 9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 27 dalam 27 dan 27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$