Selesaikan 27m^2-24m+20=0

$$27 m ^ { 2 } - 24 m + 20 = 0$$

Selesaikan untuk m

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}\approx 0.444444444+0.737027731i$$

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}\approx 0.444444444-0.737027731i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 27 dengan a, -24 dengan b dan 20 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

Kuasa dua -24.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

Darabkan -4 kali 27.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-108\times 20}}{2\times 27}$$

Darabkan -108 kali 20.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-2160}}{2\times 27}$$

Tambahkan 576 pada -2160.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-1584}}{2\times 27}$$

Ambil punca kuasa dua -1584.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

Nombor bertentangan -24 ialah 24.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

Darabkan 2 kali 27.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} apabila ± ialah plus. Tambahkan 24 pada 12i\sqrt{11}.

$$m=\frac{24+12\sqrt{11}i}{54}$$

Bahagikan 24+12i\sqrt{11} dengan 54.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} apabila ± ialah minus. Tolak 12i\sqrt{11} daripada 24.

$$m=\frac{-12\sqrt{11}i+24}{54}$$

Bahagikan 24-12i\sqrt{11} dengan 54.

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$27m^{2}-24m+20-20=-20$$

Menolak 20 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$27m^{2}-24m=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 27.

$$\frac{27m^{2}-24m}{27}=-\frac{20}{27}$$

Membahagi dengan 27 membuat asal pendaraban dengan 27.

$$m^{2}+\left(-\frac{24}{27}\right)m=-\frac{20}{27}$$

Kurangkan pecahan \frac{-24}{27} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m=-\frac{20}{27}$$

Bahagikan -\frac{8}{9} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{4}{9}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{4}{9} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{27}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{4}{9} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{20}{27}+\frac{16}{81}$$

Tambahkan -\frac{20}{27} pada \frac{16}{81} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{44}{81}$$

Faktor m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{44}{81}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{44}{81}}$$

Permudahkan.

$$m-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{11}i}{9} m-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{11}i}{9}$$

Tambahkan \frac{4}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$