Selesaikan 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 256x^{2}+ax+bx+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -32.

$$a=-16 b=-16$$

Tulis semula 256x^{2}-32x+1 sebagai \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Faktorkan 16x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 16x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 256 dengan a, -32 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Kuasa dua -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Darabkan -4 kali 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Tambahkan 1024 pada -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Nombor bertentangan -32 ialah 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Darabkan 2 kali 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Kurangkan pecahan \frac{32}{512} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Membahagi dengan 256 membuat asal pendaraban dengan 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Kurangkan pecahan \frac{-32}{256} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Bahagikan -\frac{1}{8} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{16}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{16} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{16} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Tambahkan -\frac{1}{256} pada \frac{1}{256} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Tambahkan \frac{1}{16} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Persamaan kini diselesaikan. Penyelesaian adalah sama.

$$x=\frac{1}{16}$$