Selesaikan 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 25x^{2}+ax+bx+16. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -40.

$$a=-20 b=-20$$

Tulis semula 25x^{2}-40x+16 sebagai \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan -4 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 25 dengan a, -40 dengan b dan 16 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kuasa dua -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Darabkan -4 kali 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Darabkan -100 kali 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Tambahkan 1600 pada -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Nombor bertentangan -40 ialah 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Darabkan 2 kali 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Kurangkan pecahan \frac{40}{50} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Menolak 16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Membahagi dengan 25 membuat asal pendaraban dengan 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Kurangkan pecahan \frac{-40}{25} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Bahagikan -\frac{8}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{4}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{4}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Tambahkan -\frac{16}{25} pada \frac{16}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan. Penyelesaian adalah sama.

$$x=\frac{4}{5}$$