Selesaikan 25x^2-20x+12=0

$$25 x ^ { 2 } - 20 x + 12 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5}\approx 0.4+0.565685425i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}\approx 0.4-0.565685425i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$25x^{2}-20x+12=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 25 dengan a, -20 dengan b dan 12 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Kuasa dua -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Darabkan -4 kali 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 12}}{2\times 25}$$

Darabkan -100 kali 12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-1200}}{2\times 25}$$

Tambahkan 400 pada -1200.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{-800}}{2\times 25}$$

Ambil punca kuasa dua -800.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

Nombor bertentangan -20 ialah 20.

$$x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

Darabkan 2 kali 25.

$$x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50} apabila ± ialah plus. Tambahkan 20 pada 20i\sqrt{2}.

$$x=\frac{20+20\sqrt{2}i}{50}$$

Bahagikan 20+20i\sqrt{2} dengan 50.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50} apabila ± ialah minus. Tolak 20i\sqrt{2} daripada 20.

$$x=\frac{-20\sqrt{2}i+20}{50}$$

Bahagikan 20-20i\sqrt{2} dengan 50.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-20x+12=0$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25x^{2}-20x+12-12=-12$$

Menolak 12 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$25x^{2}-20x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=-\frac{12}{25}$$

Membahagi dengan 25 membuat asal pendaraban dengan 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=-\frac{12}{25}$$

Kurangkan pecahan \frac{-20}{25} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{12}{25}$$

Bahagikan -\frac{4}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{12}{25}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-12+4}{25}$$

Tambahkan -\frac{12}{25} pada \frac{4}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{8}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{25}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{2}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{2}i}{5}$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$