Selesaikan 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gabungkan 25x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 24x^{2}+ax+bx-25. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -10.

$$a=-30 b=20$$

Tulis semula 24x^{2}-10x-25 sebagai \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Faktorkan 6x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-5=0 dan 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gabungkan 25x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 24 dengan a, -10 dengan b dan -25 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Kuasa dua -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Tambahkan 100 pada 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Nombor bertentangan -10 ialah 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{10±50}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan 10 pada 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{60}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{10±50}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 50 daripada 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-40}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gabungkan 25x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Tambahkan 25 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$24x^{2}-10x=25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Membahagi dengan 24 membuat asal pendaraban dengan 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Bahagikan -\frac{5}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Tambahkan \frac{25}{24} pada \frac{25}{576} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Tambahkan \frac{5}{24} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$