Selesaikan 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 25x^{2}+ax+bx+9. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 30.

$$a=15 b=15$$

Tulis semula 25x^{2}+30x+9 sebagai \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 25 dengan a, 30 dengan b dan 9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Kuasa dua 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Darabkan -4 kali 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Darabkan -100 kali 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Tambahkan 900 pada -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Darabkan 2 kali 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{50} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Menolak 9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Membahagi dengan 25 membuat asal pendaraban dengan 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{25} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Bahagikan \frac{6}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Tambahkan -\frac{9}{25} pada \frac{9}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Tolak \frac{3}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan. Penyelesaian adalah sama.

$$x=-\frac{3}{5}$$