Selesaikan 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-600. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-20 b=30$$

Tulis semula x^{2}+10x-600 sebagai \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 30 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-20 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-20=0 dan x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 25 dengan a, 250 dengan b dan -15000 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Kuasa dua 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Darabkan -4 kali 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Darabkan -100 kali -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Tambahkan 62500 pada 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Ambil punca kuasa dua 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Darabkan 2 kali 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-250±1250}{50} apabila ± ialah plus. Tambahkan -250 pada 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Bahagikan 1000 dengan 50.

$$x=20$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-250±1250}{50} apabila ± ialah minus. Tolak 1250 daripada -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Bahagikan -1500 dengan 50.

$$x=-30$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=20 x=-30$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Tambahkan 15000 pada kedua-dua belah persamaan.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Menolak -15000 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Tolak -15000 daripada 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Membahagi dengan 25 membuat asal pendaraban dengan 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Bahagikan 250 dengan 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Bahagikan 15000 dengan 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Bahagikan 10 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 5. Kemudian tambahkan kuasa dua 5 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Kuasa dua 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Tambahkan 600 pada 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Faktor x^{2}+10x+25. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Permudahkan.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=20 x=-30$$