Selesaikan 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 25 dengan 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 35-7x dengan 5+x dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Tambahkan 400 dan 175 untuk dapatkan 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Gabungkan 25x^{2} dan -7x^{2} untuk mendapatkan 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Tolak 295 daripada kedua-dua belah.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Tolak 295 daripada 575 untuk mendapatkan 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Tambahkan 45x^{2} pada kedua-dua belah.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Gabungkan 18x^{2} dan 45x^{2} untuk mendapatkan 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 63 dengan a, 200 dengan b dan 280 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Kuasa dua 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Darabkan -4 kali 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Darabkan -252 kali 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Tambahkan 40000 pada -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Ambil punca kuasa dua -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Darabkan 2 kali 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} apabila ± ialah plus. Tambahkan -200 pada 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Bahagikan -200+4i\sqrt{1910} dengan 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} apabila ± ialah minus. Tolak 4i\sqrt{1910} daripada -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Bahagikan -200-4i\sqrt{1910} dengan 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 25 dengan 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 35-7x dengan 5+x dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Tambahkan 400 dan 175 untuk dapatkan 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Gabungkan 25x^{2} dan -7x^{2} untuk mendapatkan 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Tambahkan 45x^{2} pada kedua-dua belah.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Gabungkan 18x^{2} dan 45x^{2} untuk mendapatkan 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Tolak 575 daripada kedua-dua belah.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Tolak 575 daripada 295 untuk mendapatkan -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Membahagi dengan 63 membuat asal pendaraban dengan 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Kurangkan pecahan \frac{-280}{63} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Bahagikan \frac{200}{63} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{100}{63}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{100}{63} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{100}{63} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Tambahkan -\frac{40}{9} pada \frac{10000}{3969} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Tolak \frac{100}{63} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$