Selesaikan 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 24x^{2}+ax+bx+21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -65.

$$a=-56 b=-9$$

Tulis semula 24x^{2}-65x+21 sebagai \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Faktorkan 8x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-7=0 dan 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 24 dengan a, -65 dengan b dan 21 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kuasa dua -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Tambahkan 4225 pada -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Nombor bertentangan -65 ialah 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{65±47}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan 65 pada 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{112}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{65±47}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 47 daripada 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{18}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Menolak 21 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Membahagi dengan 24 membuat asal pendaraban dengan 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-21}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Bahagikan -\frac{65}{24} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{65}{48}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{65}{48} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{65}{48} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Tambahkan -\frac{7}{8} pada \frac{4225}{2304} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Tambahkan \frac{65}{48} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$