Selesaikan 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 8x^{2}+ax+bx-1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -8.

$$-1,8 -2,4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 2.

$$a=-2 b=4$$

Tulis semula 8x^{2}+2x-1 sebagai \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Faktorkan 2x dalam 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-1=0 dan 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 24 dengan a, 6 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Kuasa dua 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Tambahkan 36 pada 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±18}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±18}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-24}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Membahagi dengan 24 membuat asal pendaraban dengan 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{3}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Bahagikan \frac{1}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Tambahkan \frac{1}{8} pada \frac{1}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Tolak \frac{1}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$