Selesaikan 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Faktor

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 24x^{2}+ax+bx+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 38.

$$a=18 b=20$$

Tulis semula 24x^{2}+38x+15 sebagai \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Faktorkan 6x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Kuasa dua 38.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Tambahkan 1444 pada -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-38±2}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan -38 pada 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-36}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-38±2}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 2 daripada -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-40}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan -\frac{3}{4} dengan x_{1} dan -\frac{5}{6} dengan x_{2}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Tambahkan \frac{5}{6} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Darabkan \frac{4x+3}{4} dengan \frac{6x+5}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Darabkan 4 kali 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 24 dalam 24 dan 24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Nilaikan

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$