Selesaikan 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 24x^{2}+ax+bx+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -38.

$$a=-20 b=-18$$

Tulis semula 24x^{2}-38x+15 sebagai \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 6x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 6x-5=0 dan 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 24 dengan a, -38 dengan b dan 15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Kuasa dua -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Tambahkan 1444 pada -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Nombor bertentangan -38 ialah 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{38±2}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan 38 pada 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{40}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{38±2}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 2 daripada 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{36}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Menolak 15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Membahagi dengan 24 membuat asal pendaraban dengan 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-38}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-15}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Bahagikan -\frac{19}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{19}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{19}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{19}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Tambahkan -\frac{5}{8} pada \frac{361}{576} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Tambahkan \frac{19}{24} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$